Что касается MySQL, предпочтительным методом резервного копирования является установка ведомого реплики и последующее создание резервной копии там.
См., Например:
http://dev.mysql.com/doc/mysql-backup-excerpt/5.6/en/replication-solutions-backups.html
Что касается solr, возможно, инкрементное решение rsync может работать? Вроде от версии зависит.