Почему мои запросы к серверу испытывают таймаут на конкретном сервере?

если роют и работа nslookup, то Вы решаете к своему прекрасному серверу DNS.

Другие серверы, Вы упоминаете также в демилитаризованной зоне, или они передают порту от своего брандмауэра в сети?

Существует ли различие между доступом к ним по имени (включающий их серверы DNS) и получающий доступ IP (обходящий сервер DNS)?

Возможно, что они изолировали Ваш сервер в демилитаризованной зоне до такой степени, когда, это не может получить доступ к их серверам, чтобы помочь защитить другие системы в случае, если Ваша система была взломана.

Это не обязательно исключает брандмауэр. У них могут быть правила брандмауэра, которые блокируются, блок IP Вашего сервера при разрешении стоящим с Интернетом системам войти (не обязательно имеет смысл, но не означает, что это не было тем, что было настроено).

Необходимо будет говорить системными администраторами школы, чтобы видеть, как были настроены вещи. Это звучит мне как проблема конфигурации маршрутизатора или брандмауэра.