Нет, Вы не должны использовать электронную почту GoDaddy, необходимо просто следовать инструкциям Google для того, как установить рекорды MX предоставленного домена GoDaddy для указания на серверы Google.
Вместо того, чтобы пытаться поставить почту Серверу 1 использование общественности выделило IP-адрес, у Вас есть частный IP, который Вы могли использовать? Вы, возможно, должны были бы установить запись в файле hosts на сервере 2 для указания на частный IP.
Просто мысль.