Apache - ограничивает доступ ко всем папкам, но один

Добавьте Satisfy Any в конец вашего ] Директива Directory : клиенту

<Directory "/Library/WebServer/example.com/www/public/">
        Options All +Indexes -ExecCGI +Includes +MultiViews
        AllowOverride None
        IndexOptions NameWidth=*
        Order Deny,Allow
        Allow from all
        Satisfy Any
</Directory>

будет предоставлен доступ без запроса пароля.