Если вы не получаете никакого ответа, скорее всего, ваш интернет-провайдер блокирует исходящие соединения через порт 25. Это довольно распространенный метод борьбы со спамом от ботнетов в потребительских сетях. См. Документ MAAWG на Управление портом 25 .
Отправка с реального хоста - сервер Amazon EC2 будет работать.
Также для отправки почты, входящей в Gmail, вам нужен порт 25, а не 587.
SMTP-серверам Gmails требуется TLS на порт 587 или SSL на порт 465. Вам необходимо пройти аутентификацию.
Я предлагаю вам взглянуть на официальную документацию Gmail и некоторые примеры кода того, как другие реализовали отправку почты через SMTP / Gmail с использованием Node.